viernes, 27 de noviembre de 2015

Cinemática: Movimiento Circular

Una particula P se mueve en una circunferencia. Colocamos un eje de coordenadas XY y en el origen O del sistema de coordenadas en el centro de la circunferencia.


Entonces es

\overrightarrow r = x_r \overrightarrow i + y_r \overrightarrow j = \left( {r\cos \varphi } \right)\,\overrightarrow i + \left( {r\sin \varphi } \right)\overrightarrow j \,.

Analogo a la velocidad y a la aceleracion podemos definir la velocidad angular ω así

\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \varphi }} {{\Delta t}} = \frac{{\operatorname{d} \varphi }} {{\operatorname{d} t}}\,,

y a la aceleracion angular α

\alpha = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \omega }} {{\Delta t}} = \frac{{\operatorname{d} \omega }} {{\operatorname{d} t}} = \frac{{\operatorname{d} ^2 \varphi }} {{\operatorname{d} t^2 }}\,.

Cuando t = 0 es también φ = 0, entonces es

\varphi \left( t \right) = \int_0^t {\omega \,\operatorname{d} t} = \int_0^t {\left[ {\int_0^t {\alpha \,\operatorname{d} t} } \right]} \operatorname{d} t\,.

MCU(movimiento circular uniforme):
Un movimiento circular con velocidad angular constante se lo llama uniforme. Entonces

\varphi (t) = \varphi (0) + \omega t\quad y\;\,para\quad \varphi (0) = 0\quad \Rightarrow \quad \varphi (t) = \omega \,t.

La ecuacion del vector posición es

\overrightarrow r = r\left( {\cos \omega \,t} \right)\overrightarrow i + r\left( {\sin \omega \,t} \right)\overrightarrow j \,.

Con esto nos da la velocidad

\overrightarrow v = \frac{{\operatorname{d} \overrightarrow r }} {{\operatorname{d} t}} = - r\omega \left( {\sin \omega \,t} \right)\overrightarrow i + r\omega \left( {\cos \omega \,t} \right)\overrightarrow j

y

v = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 } = r\omega \sqrt {\sin ^2 \omega t + \cos ^2 \omega t} = r\omega \,.

Efectuando el producto escalar entre los vectores r y v obtenemos:

\begin{align} \overrightarrow r \, \cdot \overrightarrow v & = r\left( {\cos \omega \,t} \right) \left[- r\omega \left( {\sin \omega \,t} \right)\right] + r\left( {\sin \omega \,t} \right) r\omega \left( {\cos \omega \,t} \right) \\ & = - r^2 \omega \left( {\sin \omega \,t} \right)\left( {\cos \omega \,t} \right) + r^2 \omega \left( {\sin \omega \,t} \right)\left( {\cos \omega \,t} \right) \\ & = 0 \end{align}

Con lo cual resulta que los vectores r y v son perpendiculares. Para la aceleracion tenemos que

\overrightarrow a = \frac{{\operatorname{d} \overrightarrow v }} {{\operatorname{d} t}} = - \,r\omega ^2 \left( {\cos \omega \,t} \right)\overrightarrow i - r\omega ^2 \left( {\sin \omega \,t} \right)\overrightarrow j

y así

\overrightarrow a = - \,\omega ^2 \overrightarrow r \quad \Rightarrow \quad a = \omega ^2 r = \frac{{v^2 }} {r}\,.

La aceleracion esta dirigida hacia O (aceleracion centripeta), y su modulo es constante.
MCUA(Movimiento circular uniformemente acelerado):
Aqui la aceleracion angular α es constante y también ω(0) = 0

\omega \left( t \right) = \alpha \,t = \left( {\frac{{\operatorname{d} \varphi }} {{\operatorname{d} t}}} \right)_t .
También, cuando φ(0)=0, así para el angulo de rotacion

\varphi \left( t \right) = \int_0^t {\omega \,\operatorname{d} t} = \int_0^t {\alpha \,t} \,\operatorname{d} t = \frac{\alpha } {2}t^2 .

Asi tenemos también que
\overrightarrow r = r\left( {\cos \frac{\alpha } {2}\,t^2 } \right)\overrightarrow i + r\left( {\sin \frac{\alpha } {2}\,t^2 } \right)\overrightarrow j \,

\overrightarrow v = \frac{{\operatorname{d} \overrightarrow r }} {{\operatorname{d} t}} = r\alpha \,t\left[ { - \left( {\sin \,\frac{\alpha } {2}t^2 } \right)\overrightarrow i + \left( {\cos \frac{\alpha } {2}t^2 } \right)\overrightarrow j } \right] = r\omega \left[ { - \left( {\sin \,\frac{\alpha } {2}t^2 } \right)\overrightarrow i + \left( {\cos \frac{\alpha } {2}t^2 } \right)\overrightarrow j } \right]

y

\overrightarrow a = \frac{{\operatorname{d} \overrightarrow v }} {{\operatorname{d} t}} = r\alpha \left[ { - \left( {\sin \frac{\alpha } {2}t^2 } \right)\overrightarrow i + \left( {\cos \frac{\alpha } {2}t^2 } \right)\overrightarrow j } \right] +
+ \,r\alpha ^2 t^2 \left[ {\left( { - \cos \frac{\alpha } {2}t^2 } \right)\overrightarrow i - \left( {\sin \frac{\alpha } {2}t^2 } \right)\overrightarrow j } \right].

o

\overrightarrow a = \left[ { - r\alpha \left( {\sin \varphi } \right) - r\omega ^2 \left( {\cos \varphi } \right)} \right]\overrightarrow i +
+ \left[ {r\alpha \left( {\cos \varphi } \right) - r\omega ^2 \left( {\sin \varphi } \right)} \right]\overrightarrow j .

Asi, podemos dedecir que la componente radial de la aceleracion (y su direccion) es

\,a_{rad} = r\omega ^2

y su componente tangencial es
\,a_{tan} = r\alpha
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